选择题的特殊技巧

代入特殊点/值

代入特殊点

对于求取值范围的题，我们可以先代入特殊值排除选项，再做后续步骤。

观察每个选项区间范围和差异，代入差异的特殊值验证是否符合题设条件从而进行取舍。

此外也可以代入常见的，包括：\(0,1,2,e,\dfrac{1}{e},\dfrac{1}{e^2},\)\(-1,-2,-\dfrac{1}{e},-\dfrac{1}{e^2}\)等。

1. 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array} \\ 2^{-x}, x\leqslant 0 \\ 1, x > 0\end{array},\right.$ 则满足 \(f(x+1) < f(2x)\) 的 \(x\) 的取值范围是(\(\qquad\)) \(\begin{array}\\ \text { A. }(-\infty,-1]&\text { B. }(0,+\infty) & \text { C. }(-1,0) & \text { D. }(-\infty, 0)\end{array}\)

2. (2020.10.6EZ轮测) 已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{4}{3} x+4, x \geqslant 1 \\ -\dfrac{1}{3} x^{3}+x^{2}-x+\dfrac{10}{3}, x < 1\end{array},\right.\) 若关于 \(x\) 的不等式 \(f(x) \geqslant\left|\dfrac{4}{9} x-a\right|\) 在R上恒成立，则实数\(a\)的取值范围为\((\qquad)\).

   \(\begin{array}\\ \text { A. }\left[-\dfrac{44}{27}, \dfrac{92}{27}\right]&\text { B. }\left[-\dfrac{44}{27},\dfrac{263}{81}\right] & \text { C. }\left[\dfrac{263}{81}, \dfrac{92}{27}\right]& \text { D. }\left(-\infty,-\dfrac{44}{27}\right]\end{array}\)

   【参考答案】B

   【分析】利用参变分离的方法，转化为 \(\left(-\dfrac{1}{3} x^{2}+\dfrac{16}{9} x-4\right)_{\max } \leqslant a \leqslant\left(\dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{8}{9} x+4\right)_{\min },\)

   且\(\left(\dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}+\dfrac{13}{9} x-\dfrac{10}{3}\right)_{\max } \leqslant a \leqslant\left(-\dfrac{1}{3} x^{3}+x^{2}-\dfrac{5}{9} x+\dfrac{10}{3}\right)_{\min },\)

   转化为求函数的最值.

   
   

   【详解】当 \(x \geqslant 1\) 时, \(f(x)=\dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{4}{3} x+4=\dfrac{1}{3}(x-2)^{2}+\dfrac{8}{3} > 0\)

   当 \(x < 1\) 时, \(f(x)=-\dfrac{1}{3} x^{3}+x^{2}-x+\dfrac{10}{3},\) 则\(f^{\prime}(x)=-x^{2}+2 x-1=-(x-1)^{2} < 0,\)

   若关于 \(x\) 的不等式 \(f(x) \geqslant\left|\dfrac{4}{9} x-a\right|\) 在 \(R\) 上恒成立,

   
   

   则 \(\left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x-4\leqslant \dfrac{4}{9}x-a\leqslant \dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+4 \\\\ \dfrac{1}{3}x^3-x^2+x-\dfrac{10}{3}\leqslant \dfrac{4}{9}x-a\leqslant -\dfrac{1}{3}x^3+x^2-x+\dfrac{10}{3}\\ \end{array} \right.\)

   
   

   即 \(\left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{1}{3} x^{2}+\dfrac{16}{9} x-4 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{8}{9} x+4\\\\ \dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}+\dfrac{13}{9} x-\dfrac{10}{3} \leqslant a \leqslant-\dfrac{1}{3} x^{3}+x^{2}-\dfrac{5}{9} x+\dfrac{10}{3}\\ \end{array} \right.\) 恒成立,

   
   

   所以 \(\left\{ \begin{array}{l} \left(-\dfrac{1}{3} x^{2}+\dfrac{16}{9} x-4\right)_{\max } \leqslant a \leqslant\left(\dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{8}{9} x+4\right)_{\min }\\\\ \left(\dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}+\dfrac{13}{9} x-\dfrac{10}{3}\right)_{\max } \leqslant a \leqslant\left(-\dfrac{1}{3} x^{3}+x^{2}-\dfrac{5}{9} x+\dfrac{10}{3}\right)_{\min }\\ \end{array} \right.\)

   
   

   (1) 当 \(x \geqslant 1\) 时，函数 \(y=\dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{8}{9} x+4=\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^{2}+\dfrac{92}{27}(x \geqslant 1),\)

   当 \(x=\dfrac{4}{3}\) 吋，函数取得枝小值 \(\dfrac{92}{27},\)

   函数 \(y=-\dfrac{1}{3} x^{2}+\dfrac{16}{9} x-4=-\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{8}{3}\right)^{2}-\dfrac{44}{27}(x \geqslant 1),\)

   所以当 \(x=\dfrac{8}{3}\) 时函数取得提大值 \(-\dfrac{44}{27}, \quad\) 所以 \(-\dfrac{44}{27} \leqslant a \leqslant \dfrac{92}{27}\quad(1).\)

   
   

   (2) 当 \(x < 1\) 时, \(y=\dfrac{1}{3} x^{3}-x^{2}+\dfrac{13}{9} x-\dfrac{10}{3}, \quad y^{\prime}=x^{2}-2 x+\dfrac{13}{9} > 0,\)

   函数在 \((-\infty, 1)\) 单调递增,

   所以 \(f(x) < f(1)=-\dfrac{23}{9},\)

   \(y=-\dfrac{1}{3} x^{3}+x^{2}-\dfrac{5}{9} x+\dfrac{10}{3}(x < 1),\)

   \(y^{\prime}=-x^{2}+2 x-\dfrac{5}{9}=-(x-1)^{2}+\dfrac{4}{9},\)

   令 \(y^{\prime} > 0,\) 解得 \(\dfrac{1}{3} < x < 1,\)

   令 \(y^{\prime} < 0,\) 解得 \(x < \dfrac{1}{3},\)

   故函数在 \(\left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right)\) 单调递减, 在 \(\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)\) 递增,

   所以函数在 \(x=\dfrac{1}{3}\) 处取得最小值, \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{263}{81},\)

   所以 \(-\dfrac{23}{9} \leqslant a \leqslant \dfrac{263}{81}\quad(2)\)

   
   

   根据(1)(2)可知 \(-\dfrac{44}{27} \leqslant a \leqslant \dfrac{263}{81}.\)

   【法二】 Idea by lzx.

   将\(x=0\)代入得

   \(f(0)=\dfrac{10}{3} \geqslant |a|\) \(\therefore-\dfrac{10}{3} \leqslant a \leqslant \dfrac{10}{3}\)\(=\dfrac{90}{27}=\dfrac{270}{81}\)

   排除A、C、D选项.

构造特殊函数

构造特殊函数

对于构造特殊函数求不等式解集的题，可以不采用课堂所讲的构造函数的办法，优先考虑特殊函数。如：

• \(f(x)=c\)(常数)
• \(f(x)=x\)
• \(f(x)=-x\)
• \(f(x)=x^2\)
• \(f(x)=1-x^2\)

1. 已知可导函数 \(f(x)\) 的导函数为 \(f^{\prime}(x),\) 若对任意的 \(x \in R,\) 都有 \(f(x) > f^{\prime}(x)+1,\) 且 \(f(0)=2020,\) 则不等式 \(f(x)-2019 e^{x} < 1\) 的解集为 \((\qquad)\).

   \(A. (-\infty, 0)\) \(B. (0,+\infty)\) \(C. \left(-\infty, \dfrac{1}{e}\right)\) \(D. \left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)

【参考答案】

构造函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)-1}{e^{x}}\) 则 \(g^{\prime}(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)-f(x)+1}{e^{x}} < 0,\) 所以函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)-1}{e^{x}}\) 在 \(R\) 上单调递减 因为 \(f(0)=2020,\) 所以\(g(0)=\dfrac{f(0)-1}{e^{0}}=2019\) 由 \(f(x)-2019 e^{x} < 1\) 得 \(f(x)-1 < 2019 e^{x},\) 即 \(\dfrac{f(x)-1}{e^{x}} < 2019,\) 所以得 \(g(x) < g(0),\) 因为函数 \(g(x)\) 在 \(R\) 上单调递减 所以 \(x > 0,\) 所以不等式 \(f(x)-2019 e^{x} < 1\) 的解集为 \((0,+\infty),\) 故选B。

【法二】

令\(f(x)=2020,\)

即求\(2020-2019e^x < 1,\)

即\(e^x > 1,\therefore x > 0\)