不动点法在高考数列中的应用

【定义1】对函数\(f(x)\),若存在实数\(x_0\),满足\(f(x_0)=x_0\),则称\(x_0\)为\(f(x)\)的不动点。

对此定义有两方面的理解∶ (1)代数意义:若方程\(f(x)=x\)有实数根\(x_0\),则\(y=f(x)\)有不动点\(x_0\). (2)几何意义:若函数\(y=f(x)\)与\(y=x\)有交点\((x_0,y_0)\), 则\(x_0\)为\(y=f(x)\)的不动点.

利用递推数列\(f(n)\)的不动点,可以将某些由递推关系\(a_n=f(a_n-1)\)所确定的数列转化为较易求通项的数列(如等差数列或等比数列),这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式.

【定义2】若数列{\(an\)}满足\(a_n=f(a_n-1)\),则称\(f(x)\)为数列\(\left\{a_n\right\}\)的特征函数.

【定义3】方程\(f(x)=x\)称为函数\(f(x)\)的不动点方程(特征方程),其根称为函数\(f(x)\)的不动点.

定理1

设\(f(x)=ax+b\)\((a≠0且a≠1)\),\(\left\{a_n\right\}\)满足递推关系\(a_n=f(a_n-1)(n≥2)\),\(p\)为\(f(x)\)的不动点,则\(a_n-p=a(a_n-1-p)\).具体证明步骤参见例题解法.

参考文献

• 郭博.魅力不动点——不动点法在数列中的应用[J].数学学习与研究,2019(06):106-107.