高考视野下的泰勒公式与对数不等式

常用不等式

1. $x+1 e^{x} \(</mark>\) (x<1)$
2. \(ex\leqslant e^{x}\)
3. \(\dfrac{x}{1+x} \leqslant \ln \left(x+1\right) \leqslant x\)
4. \(\dfrac{x-1}{x} \leqslant \ln \left(x\right) \leqslant x-1\)
5. \(\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_{1}-x_{2}}{\ln x_{1}-\ln x_{2}}<\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\)

• \(e^{x}=1+x+ \dfrac{x^{2}}{2!}+ \dfrac{x^{3}}{3!}+ \cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}e^{\theta x},\quad 0<\theta<1\)
• $(1+x)=x- x^{2}+ x^{3}- x^{4} $
• \(\sin x=x- \dfrac{x^{3}}{3!}+ \dfrac{x^{5}}{5!} \cdots\)
• \(\cos x=1- \dfrac{x^{2}}{2!}+ \dfrac{x^{4}}{4!}- \dfrac{x^{6}}{6!} \cdots\)
• \(\tan x=x+ \dfrac{x^{3}}{3}+ \dfrac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{5}\right)\)

拓展：泰勒展开

泰勒公式

设 \(n\) 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 \(f\) 在 \(a\) 点处 \(n+1\) 次可导，那么对于这个区间上的任意 \(x\)，都有：

\[f(x)=f(a)+{\dfrac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\dfrac {f^2(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\dfrac {f^(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x)\]

其中的多项式称为函数在$a \(处的泰勒展开式，剩余的\)R_{n}(x$ 是泰勒公式的余项，是$(x-a)^{n} $的高阶无穷小。

• 更多信息

不等式演绎

由\(e^{x}=1+\dfrac{x}{1 !}+\dfrac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\dfrac{x^{n}}{n !}+\cdots\)得：

\[e^{x} \geqslant x+1\left(x \in \mathbb{R}\right) \tag{1}\]

由\(\left(1\right)\)式, 将 x 替换为 -x , 可得

\[e^{x} \leqslant \dfrac{1}{1-x}\boldsymbol{\left(x<1\right)} \tag{2}\]

则有：

\[x+1 \leqslant e^{x} \leqslant \dfrac{1}{1-x} \left(x<1\right)\tag{3}\]

对$ (3) $取以e为底的对数, 可得:

\[\ln \left(x+1\right) \leqslant x \leqslant-\ln \left(1-x\right) \quad\left(x>-1\right)\tag{4}\] 对于 \(x \leqslant-\ln \left(1-x\right),\) 将 \(x\) 替换为 \(\dfrac{x}{1+x}\) 可得:

\[\dfrac{x}{1+x} \leq-\ln \left(1-\dfrac{x}{1+x}\right)\]

结合$ (4) \(式可得:\)$ (x+1) x \[ 再将$ \left(5\right) $式中的*x*替换为*x-1*又可得: \] (x) x-1 $$

图1 - \(\left(3\right)\)式图像

图2 - \(\left(6\right)\)式图像

再对图 1 (对应\(\left(3\right)\))中的三个函数图像作关于直线 \(y = x\) 对称的图形 , 相应函数的解析式相当于原函数的反函数 , 如图 2 , 与其对应的不等式是 \(\left(6\right)\)\(\dfrac{x-1}{x} \leqslant \ln x \leqslant x-1\)。若将图 2 的函数向左平移 1 个单位可得\(\left(5\right)\)\(\dfrac{x}{1+x} \leqslant \ln \left(x+1\right) \leqslant x\), 如图 3.

图3 - \(\left(5\right)\)式图像

应用

预估取值范围

1. 若\(x \geqslant 0,\) 求证: \(e^{x} \geqslant 1+x+\dfrac{1}{2} x^{2}\)

   泰勒展开即可。注意\(x<0\)时不成立，因为\(\dfrac{x^3}{3!}, \dfrac{x^5}{5!}, \cdots\)等项为负

【变式】 设\(f \left( x \right) = e^x- ax - a\), 若\(f \left( x \right) \geqslant 0\)对$∀ x .数学学习与研究, 2019(21) :141+143.