0/0型洛必达法则 ^[1]

命题

设 (1) 当\(x\rightarrow 0\)时，函数\(f(x)\)及函数\(g(x)\)都趋近于零； (2) 在点\(a\)的某去心领域内，\(f'(x)\)及\(g'(x)\)都存在且\(g'(x)≠0\)； (3) \(\underset{x\rightarrow a}{\lim}\dfrac{f'\left(x \right)}{g'(x)}\)存在（或为无穷大）

则 \(\underset{x\rightarrow a}{\lim}\dfrac{f\left(x \right)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow a}{\lim}\dfrac{f'\left(x \right)}{g'(x)}=L\)

证明

先补充定义\(f(a)=g(a)=0\)，则有\(limx → a+f(x) = f(a) = 0\)、\(limx → a+g(x) = g(a) = 0\)，所以这个定义使得\(f(x)\)和\(g(x)\)在\([a, b)\)上连续。取任意的\(x ∈ (a, b)\)，由于\(f(x)\)和\(g(x)\)在\([a, x]\)上满足使用柯西中值定理的条件，所以有

\(\frac{f(x) - f(a)}{g\left( x \right) - g\left( a \right)} = \frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)}\)

因为\(f(a)=g(a)=0\)，所以

\(\frac{f(x)}{g\left( x \right)} = \frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)}\)

\(x → a+\)时，因为\(c\)在\((a, x)\)上，所以\(c → a+\)，又因为\(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}\left( x \right)} = L\)，所以

\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( c \right)}{g^{'}\left( c \right)} = \lim_{c \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( c \right)}{g^{'}\left( c \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)} = L.\)

至此0/0型洛必达法则得证。

说明：

1.证明开头处补充定义\(f(a)=g(a)=0\)不会影响\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\)吗？不会！函数在x → a+时的极限和x=a处的值无关（与函数在x=a处近旁的值有关），改变函数在x=a处的值并不会影响函数在x → a+时的极限。为了更形象地理解这个特性，各位请随便定义下图中f(x) = sinx和g(x) = − 0.5x于x=0处的值，然后再观察一下这种改变是否会影响到\(\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\text{sinx}}{- 0.5x}\)？\((\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\text{sinx}}{- 0.5x} = - 2)\)。总之，f(x)和g(x)在a处是否有定义或取什么值并不影响\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\)，因此0/0型洛必达法则的成立条件也就不要求f(x)和g(x)在a处连续了，上面的证明过程中也才可以补充定义f(a)=g(a)=0来进行证明。补充这个定义仅仅只是让我们可以在证明过程中使用柯西中值定理，它不会对\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\)是否存在或是值是多少有影响，所以它并未构成0/0型洛必达法则的成立条件之一。 ↩︎
2.用和上面类似的方法不难证明0/0型洛必达法则在\(x → a−\)时也成立，进而可得到在\(x → a\)时也成立。 ↩︎
3.如果\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)}\)仍然是0/0型，那么在确认\(f′(x)\)和\(g′(x)\)满足0/0型洛必达法则成立条件的情况下仍可得出\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{''}\left( x \right)}{g^{''}\left( x \right)}\)，在需要的时候，这一过程可以再继续下去。 ↩︎